Las curiosas claves de un malentendido en el tratado de Antonio Soler

Escribí este ensayo para un curso de Historia de la Música. El requerimiento era escribir un ensayo relacionado con alguno de varios tratados teóricos elegidos por el profesor. El que me pareció más interesante de ellos fue el del Antonio Soler, sobre todo por la detallada sección sobre afinación, tema que encuentro personalmente muy interesante (mucho más que el canto gregoriano y su pedagogía, que era el tema de todos los otros tratados).

Por razones diversas pude sentarme a estudiar con precisión el ensayo (y la literatura relevante, incluyendo las referencias bibliográficas) solo unos dos o tres días antes de la fecha límite, y debido a un alto grado de indecisión solo logré arribar a un tema unas seis horas antes de la hora límite. Está de más decir que el ensayo fue escrito bastante rápido.
A pesar de esto, quedé contento con el texto, porque creo que es preciso y resuelve el problema. Más aún considerando que el argumento del tratado está escrito de forma muy poco clara.
El equívoco en cuestión es tan confuso que creo posible y probable que nadie se haya dado cuenta antes de su existencia. En la época había mucho menos acceso a las fuentes clásicas, quizás recién con la llegada del internet fue posible hacer algo como lo que hice. Pero no es común ni natural, en la época del internet, pasar días intentando refutar las interpretaciones de fuentes griegas y romanas de un cura español del barroco en el prefacio de un tratado de teoría musical (y yo tuve que hacerlo por obligación). Podría haberme enfocado en cualquier otra cosa para hacer el ensayo, pero la falta de claridad me irritó y no avancé hasta entender qué estaba realmente sucediendo. Cuando lo logré ya era demasiado tarde para buscar otro tema sobre el cual escribir el ensayo, así que comencé a escribir y escribí lo mejor que pude.

El ensayo en sí es técnico y algo denso, aunque creo que puede ser entendido con una lectura cuidadosa y consultando los términos desconocidos.

Introducción

En este ensayo exploraré la interesante explicación que da cuenta del equívoco que comete el padre Antonio Soler en su tratado Llave de la Modulación al confundir dos sistemas históricos de afinación distintos en su exposición del temperamento y que lo lleva a la curiosa declaración de que el semitono menor es el de mayor tamaño.^[1] Comenzaré con algunas consideraciones y definiciones de utilidad general para abordar el tema de la afinación en la música. Luego, mostraré la evolución de las ideas de afinación en las fuentes griegas (en las cuales pretende apoyarse el susodicho Soler). Finalmente, analizaré el sistema de Soler y los argumentos que lo definen como un sistema ptolemaico-didímico, cuando él creía estar siguiendo el sistema pitagórico de Boecio, lo que ocasiona dicha confusión.

Fundamentos acústicos

Para entrar en materia, comencemos definiendo y explicando algunos términos. El tono musical —esto es, el sonido con una altura reconocible y clara, como el que producen la mayoría de instrumentos musicales, la voz humana y los cantos de las aves— es producido por la interpretación del cerebro de una onda mecánica de oscilaciones periódicas, usualmente transmitida a través del aire hacia el oído. La altura del sonido está determinada por la cantidad de estas oscilaciones por periodo de tiempo. El oído humano percibe como tales los sonidos cuya frecuencia estén entre 20 y 20 000 Hz (oscilaciones por segundo), y en una escala logarítmica. Esto quiere decir que si escuchamos distintos pares de frecuencias separadas por el mismo intervalo son los ratios entre la frecuencia de las vibraciones lo que se mantiene constante y no la diferencia entre estas. Verbigracia, un La₂ equivale a 110 Hz, un la La₃ a 220 Hz y un La₄ a 440 Hz, y estas frecuencias se perciben auditivamente como separadas por el mismo intervalo. Podemos ver como tanto el intervalo musical como el ratio matemático entre las frecuencias se mantiene idéntico, y no la diferencia aritmética entre estas. Reconociendo esto nos damos cuenta de que cualquier intervalo musical puede ser expresado como un ratio matemático, y que cada ratio corresponderá solamente a un único intervalo, independientemente de dónde esté dentro del espectro audible. Es por esto que al hablar de afinación, los teóricos se han referido a los ratios entre las notas.^[2]

Los sonidos con alturas definidas y claras, también llamados sonidos musicales, tienen la particularidad física de que, además del sonido fundamental, generan una serie de armónicos superiores (cada uno de los cuales es llamado parcial), cuyas frecuencias son múltiplos de la frecuencia de la fundamental. El ratio del intervalo entre la frecuencia fundamental $f$ y el armónico $n$ es $\frac{n}{f}$. Los intervalos entre los distintos parciales son expresados por la frecuencia del parcial agudo $a$ dividida por la frecuencia del parcial grave $g$: $\frac{a}{g}$. Los intervalos fundacionales de la música occidental se aproximan a los intervalos entre los primeros armónicos: por ejemplo, la octava equivale al ratio 2:1, la quinta al ratio 3:2, la cuarta al ratio 4:3, etc. Podemos ver que la particularidad que tienen estos intervalos entre los primeros armónicos es que la fracción que los expresa es sencilla.

Los ratios superparticulares son ratios de la de la forma $\frac{n+1}{n}$. Estos ratios tienen la particularidad de que expresan el intervalo entre dos parciales adyacentes entre sí en la serie de los armónicos. El teórico, matemático y filósofo griego Arquitas (hablaremos de él más adelante) probó que los intervalos de ratios superparticulares son imposibles de dividir en mitades acústicas exactas y racionales. El sistema matemático de los griegos no incluía los números irracionales,^[3] por tanto, no era posible dividir el tono en dos semitonos de igual tamaño acústico dentro del sistema griego. En el caso del tono:
$\sqrt{\frac{9}{8}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}$.
Ninguno de los semitonos que describiré más abajo son el semitono bien temperado. Dos semitonos deben sumar un tono, pero si no es posible generar un semitono que llegue a la mitad acústicamente exacta se deben usar distintos tipos de semitono de tamaños diferentes. Este ensayo trata de una confusión sobre el tamaño exacto de los semitonos.

Sistemas de afinación en la antigua grecia

La historia de la teoría de la afinación musical comienza con Pitágoras de Samos. Toda la información que tenemos sobre sus descubrimientos es de carácter legendario, aunque conocemos los nombres y algunos escritos de sus discípulos, llamados "pitagóricos".
La primera fuente escrita pertinente es el breve Fragmento 6a de Filolao (c. 470-c. 390 a.C.) quien fue uno de alumnos de Pitágoras:

La magnitud de la harmonia [octava] es una cuarta [syllaba] más una quinta [di' oxeian]. La quinta es mayor que la cuarta por el ratio de 9:8 [un tono]. [...] La cuarta tiene el ratio 4:3, la quinta tiene el ratio 3:2 y la octava tiene el ratio 2:1. Entonces la harmonia es cinco ratios de 9:8 [tonos] y dos dieses. La quinta es tres ratios de 9:8 [tonos] y una diesis y la cuarta dos ratios de 9:8 [tonos] y una diesis. Fragmento 6a (traducido del griego por Carl A. Hufmann, 1993^[4], traducido del inglés por el autor)

Como indica Barker (2007), el tamaño que debe tomar la diesis para cumplir con las proporciones es el ratio $256:243$. Este ratio es conocido como el limma pitagórico.^[5]

El sistema musical de la Antigua Grecia se basaba en tetracordios, que son series de cuatro notas contenidos dentro del intervalo de cuarta.^[6] Habían tres "tipos" de tetracordios, denominados genus (γένος, pl. lat. genera): el enharmónico (compuesto por dos cuartos de tono y una tercera mayor), el cromático (compuesto por dos semitonos y una tercera menor) y el diatónico (compuesto por un semitono y dos tonos). La discusión de la afinación en Grecia tomaba el marco de los tetracordios.

Arquitas (c. 420-350 a.C.; contemporáneo y quizás amigo de Platón^[7]), da los siguientes tamaños de intervalos para los tetracordios:
Enharmónico: 5:4, 36:35, 28:27;
Cromático: 32:27, 243:224, 28:27;
Diatónico: 9:8, 8:7, 28:27.^[8]

Aristoxeno de Tarento (fl. 335 a.C.) filósofo peripatético y alumno de Aristóteles, rechaza dar valores específicos a los ratios (esto porque reniega ver la afinación como una actividad matemática y se inclina por el estudio empírico, polemizando contra los pitagóricos, que en todo veían el número). Describe los intervalos en función de tonos, dieses, tercios y cuartos de tono, como una aproximación descriptiva. Su definición de los genera es la siguiente:
Diatónico: tono-tono-semitono
Cromático: tercera menor, semitono, semitono
Enharmónico: tercera mayor, cuarto de tono, cuarto de tono^[9]

Dídimo el Músico (Δίδυμος, siglo i a.C.) fue un teórico griego. No se conservan tratados de él, pero es mencionado por Ptolomeo y Porfirio. Según Porfirio, una buena parte del tratado Harmonics de Ptolomeo está derivado de Dídimo.^[10] Dídimo afinaba los tetracordios de la siguiente manera:
Cromático: 6:5, 25:24, 16:15
Enharmónico: 5:4, 31:30, 32:31
Diatónico: 9:8, 10:9 y 16:15
Ptolomeo copia estos valores casi intactos, excepto porque intercambia las dos primeras razones del tetracordio diatónico de lugar.^[11]
Nótese que todos los ratios del sistema de Dídimo son del tipo superparticular.

Afinación pitagórica y didímea

Hay una tensión entre el tipo de afinación pitagórico y el didimiano. El sistema didímico puede ser visto como revolucionario en dos sentidos: Dídimo fue, al parecer, el primero en utilizar dentro de su sistema de afinación la tercera mayor correspondiente al quinto parcial de la serie armónica, cuyo ratio de frecuencia es $\frac{5}{4}$, lo cual requería cambiar el segundo tono del tetracordio por un tono más pequeño, con la razón 10:9. También fue el primero en basar su sistema armónico de tetracordios utilizando solamente ratios superparticulares. Como hemos dicho, la suma de los tonos mayor y menor de Dídimo es $\frac{9}{8}\times \frac{10}{9}=\frac{5}{4}$, id est la tercera mayor justa. No es así en el sistema pitagórico, en el cual todos los tonos son de igual tamaño, y la tercera mayor (quizás en este caso es más preciso llamarla ditono) es $\frac{9}{8}\times \frac{9}{8}=\frac{81}{64}$. La diferencia entre ambas terceras es considerable. El ditono pitagórico equivale a aproximadamente 408 cents (el cent es una medida equivalente a un centésimo auditivo del semitono igual temperado, $\frac{1}{1200}$ auditivo de una octava; algunos estudios han establecido la mínima distancia de altura reconocible entre 2 y 5 cents.^[12]), esto es, ocho cents más grande que la tercera igual temperada. La tercera mayor justa equivale a aproximadamente 386 cents, esto es catorce cents más pequeña que la tercera igual temperada. La diferencia entre estos intervalos es la llamada coma sintónica —también coma de Dídimo— de aproximadamente 21.5 cents. La tercera didímica, al ser más simple acústicamente, es notablemente más consonante que la tercera pitagórica.
Un marco conceptual relevante, introducido por Harry Partch, es el de los límites de entonación justa. El concepto de límite en la afinación se refiere al máximo divisor primo de un ratio encontrado en un sistema de afinación basado únicamente en los intervalos de la serie armónica (id est, un sistema de entonación justa, Just Intonation en inglés).^[13] La versión pitagórica es de límite-3 y la versión didímica es de límite-5.

Esta tensión entre las afinaciones se traslada al tamaño de los semitonos. Si la tercera mayor es la razón $5:4$, como en la afinación didímica, para llegar a la cuarta justa $4:3$ el tamaño del semitono debe ser $\frac{4}{3}÷\frac{5}{4}=\frac{16}{15}$. Este es el tamaño del semitono diatónico didimiano, de aproximadamente 112 cents. Si la tercera menor se define como 6:5, el semitono cromático (id est, del tetracordo cromático, véase más arriba) es equivalente a la razón 25:24 ($\frac{6}{5}\times \frac{25}{24}=\frac{5}{4}$).

Si tomamos la afinación pitagórica, el tamaño del semitono es $\frac{4}{3}÷\frac{81}{64}=\frac{256}{243}$, llamado limma pitagórico (descrito más arriba). ^[14] La distancia entre el limma y el tono $9:8$ se denomina apotomē, y es equivalente a 2187:2048 ($\frac{256}{243}\times \frac{2187}{2048}=\frac{9}{8}$). Puede verse, incluso solamente analizando las diferentes fracciones que indican los semitonos, la gran diferencia acústica entre ambos sistemas, ya que las razones más simples son acústicamente más puras.^[15] Regresaremos a esta dicotomía al analizar qué dice Soler sobre el tamaño de los semitonos, pero antes hablemos de Boecio.

Boecio y la música medieval

Anicius Manlius Severinus Boethius (480-524 d.C.) fue un cónsul romano que tradujo numerosos tratados clásicos griegos (muchas veces adaptando su contenido sin atribución). Su tratado De institutione musica es, en gran parte, y según numerosos estudiosos^[16], un parafraseo del tratado de música de Nicómaco. El tratado sigue fielmente la afinación pitagórica en sus primeras cuatro partes, en la quinta comienza a discutir el sistema ptolemaico. Lamentablemente, solo se ha conservado el texto hasta el capítulo 19, y del resto tenemos solamente el título de los capítulos.^[17] Durante la Edad Media, Boecio fue la autoridad musical más reverenciada ^[18]. El sistema de afinación pitagórico que él describe fue la base del canto llano de la época medieval, que requería de quintas justas precisamente afinadas—particularmente para el organum paralelo—y no necesitaba que las terceras fueran consonantes. Por esto, la tercera de Dídimo no era necesariamente un aporte, ya que implicaba sacrificar la afinación de otras quintas. Distinto así llegando al Renacimiento, donde las terceras comenzaron a cobrar cada vez más protagonismo.

El sistema de Antonio Soler

Más de mil años después, en 1762, el padre Antonio Soler, organista y compositor catalán del periodo barroco, publica Llave de la Modulación y Antigüedades de la Música, tratado sobre modulaciones y aspectos de la notación antigua.^[19] En los primeros ocho capítulos define —de forma bien accidentada y enrevesada— su sistema de afinación. Comienza definiendo el tono como nueve comas y los semitonos mayor y menor como de cuatro y cinco comas cada uno, respectivamente. Notables son las acrobacias que Soler realiza para justificar que el semitono que el llama "cantable" o "menor", cuyo tamaño caracteriza como de 16:15 (véase más abajo) es el mismo del que habla Boecio en su tratado (recordemos que los semitonos de Boecio son los pitagóricos, el limma, 256:243, y el apotomē, 2187:2048). Incluso llega a afirmar que el semitono de menor tamaño es el "mayor":

[Como] dos [que] caminan a la perfección de una virtud que consta de nueve grados; al que ya no le faltan sino cuatro grados para alcanzarla, ¿no diremos que es mayor y más arrimado a la perfección que al que le faltan cinco? Sin duda. Entonces mayor será el Semitono, que según Boecio, consta de cuatro comas, no el que consta de cinco, supuesto que los dos tienen por meta lograr la perfección. (Soler 1762, p. 12)

Esta afirmación queda totalmente refutada por el capítulo 15 del libro 3 de Institutione Musica: "El apotomē es más grande que cuatro comas, pero más pequeño que cinco [...] El semitono menor es más grande que tres comas pero más pequeño que cuatro".^[20]

Al comienzo, Soler trata su sistema como si fuera el sistema pitagórico, con seguridad siguiendo a Boecio sin comprender el malentendido. Sin embargo, al poco andar comienza a tratar las terceras como los ratios de límite-5 (a la manera de Dídimo, a quien no cita):

En cuanto a lo segundo, digo que una consonancia perfecta en la música consta primeramente de la proporción igual, v.g. de 1 a 1 o de 2 a 2, que es el unísono; después sigue la proporción 6:5 o 5:4, esto es, tercera menor o tercera mayor.^[16:1]

Esto, como se ha visto más arriba, es totalmente inconsistente con la afinación pitagórica que transmite Boecio, y que hasta ahora Soler parecía estar siguiendo.
Un par de páginas después, calcula la diferencia entre la tercera mayor (5:4) y la cuarta justa (4:3): $\frac{4}{3}÷\frac{5}{4}=\frac{16}{15}$, y afirma que "[r]esulta el semitono cantable, o segunda menor". Aquí nos enteramos de la razón de la confusión. El semitono cantable de Soler es el ratio 16:15, el de Dídimo. Tomaremos un pequeño desvío para explicar cómo llegó este semitono a Soler. Como ya establecimos, el sistema pitagórico era óptimo para el canto llano de la época medieval, y es el que transmitió Boecio. Sin embargo, la armonía experimentó profundos cambios a lo largo del segundo milenio de la era cristiana. Al llegar al Renacimiento, los compositores utilizaban las terceras cada vez más como una sonoridad consonante. Al ser el ditono pitagórico un intervalo tan alejado de la pureza acústica, tuvieron que modificarlo y adoptaron el modelo didimiano basado en ratios superparticulares; el teórico Zarlino —quien sistematizó esta evolución— supo de la defensa que Ptolomeo hace de la escala diatónica sintónica (didímica) por medio de Franchinus Gaffurius^[21]. Las diferencias entre ambos temperamentos son detalladas por Kircher, (que defiende el ptolemaico-didímico),^[22] a quien Soler, curiosamente, cita varias veces (aunque no queda claro que Soler haya leído realmente a Kircher, ya que parece atribuirle erróneamente los semitonos de ratio superparticular).

Más adelante,^[23] Soler reproduce la prueba del Padre Thomas Vicente Tosca de que la octava está entre 55 y 56 comas, y que el semitono incantable está entre 3 y 4 y el cantable entre 4 y 5 comas. En la página 52 concluye "[...] queda demostrado que [...] 25:24 es el verdadero semitono incantable".^[24] Este semitono no existe en Pitágoras ni Boecio (no alcanza Boecio a explicarlos en su truncada sección sobre Ptolomeo; forzosamente es didímico, al ser semitono de ratio superparticular), a pesar atribuirle a este último el origen de su sistema de afinación. Soler añade el siguiente párrafo:

Si se observan los tetracordos de Boecio, se distinguirán estas, que parecen variaciones, pero no lo son, pues hablando del género diatónico tan solamente, la menor distancia que se forma es del semitono cantable, y por ser la menor distancia llaman a este semitono menor, o semitono diatónico. Cuando se habla del género cromático se puede comparar el semitono propio de este género, que por Cerone y otros es el incantable, que consta de la proporción 25 a 24. Y si se toma por la distancia de la razón dupla [la octava], siempre es mayor el cantable, que no el incantable.

El capítulo concluye con una table de proporciones, en las que detalla los intervalos que aparecen en su temperamento, basados en ratios superparticulares y siguiendo —sin demostrar saberlo, y sin atribuirlo— el tetracordo diatónico de Dídimo y Ptolomeo.

Conclusión

Queda claro que el padre Soler no comprendía la distinción entre afinación pitagórica y ptolemaica-didímica, y por esto incurrió en semejante confusión de conceptos. Este tipo de anacronismo conceptual no es un detalle menor, sino que afecta directamente la forma en que Soler fundamenta su sistema de modulación, su lectura de la historia musical, y la manera en que interpreta los intervalos. Evidencia también la forma que tenía el mundo clásico de ver la verdad de manera tradicional, avalada por los grandes hombres del pasado, muchas veces sin considerar que las opiniones de estos podían estar en manifiesta contradicción entre sí.

La tarea de comprender cabalmente este error nos ha llevado por los recovecos de la teoría musical griega de la antigüedad y nos ha permitido iluminar la fundamental contribución de Dídimo a la afinación, cómo se opone al modelo de afinación Pitagórico, y cómo estos sistemas condicionaron la práctica musical en la Edad Media, el Renacimiento, y más allá.

Lista de referencias

Bibliográficas

Barker, A. (Ed.). (1989). Greek musical writings: Volume 2, Harmonic and acoustic theory. Cambridge University Press.

Barker, A. (1994). "Greek musicologists in the Roman Empire". Apeiron. 27 (4): 53–74.10.1515/apeiron.1994.27.4.53. Pág. 64.

Boethius. (1989). Institutione musica (Ed. Bower).

Burkholder, J. P., Grout, D. J., & Palisca, C. V. (2014). A history of Western music (9th ed.). W. W. Norton.

Euclides. Sectio Canonis

Huffman, C. A. (Ed.). (1993). Philolaus of Croton: Pythagorean and presocratic: A commentary on the fragments and testimonia with interpretive essays. Cambridge University Press.

Kircher, A. (1650). Musurgia universalis sive ars magna consoni et dissoni [Universal music-making, or the great art of consonance and dissonance]. Rome: Ex Typographia Haeredum Francisci Corbelletti https://imslp.org/wiki/Musurgia_Universalis_(Kircher%2C_Athanasius)

Long, M. (2014). Human perception and reaction to sound. En M. Long (Ed.), Architectural Acoustics (2ª ed., pp. 81–127). Elsevier. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-398258-2.00003-9

Partch, H. (1979). Genesis of a music. Da Capo Press.

Zarlino, G. (1573). Le istitutioni harmoniche (3rd ed.). Venice: Francesco de Franceschi. https://s9.imslp.org/files/imglnks/usimg/3/37/IMSLP106837-PMLP156553-le_istituzioni_harmoniche.pdf

Grove Music Online

Apotomē: Rushton, J. (2001).
Didymus: Richter, L. (2001).
Equal temperament: Lindley, M. (2001).
Limma: Barbera, A. (2001).
Tetrachord. (2001).
Tuning systems: Leedy, D., & Corey, C. (2013, October 16).
Soler (Ramos), Antonio: Marvin, F. (2001).
Zarlino, Gioseffo: Palisca, C. (2001).